Descrizione del progetto: Lo studio di alcuni problemi aritmetici di comune interesse per la Geometria Aritmetica, la Teoria dei Motivi e la Teoria dei Numeri.
Un esempio significativo è fornito dalle funzioni zeta ed L. Nella definizione classica esse sono funzioni analitiche in una variabile complessa associate a campi di numeri, forme modulari,
curve ellittiche, varietà abeliane o più in generale motivi su campi di numeri. Ci si aspetta che tali funzioni contengano
informazioni aritmetiche interessanti, si pensi ad esempio alla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer.
Viceversa, congetture e teoremi profondi di aritmetica
implicano proprietà analitiche delle funzioni L associate; ad esempio il teorema di Wiles, la congettura di Shimura-Tanyama, implica l' esistenza di un prolungamento
analitico al piano complesso delle funzioni L associate a curve ellittiche definite sui razionali.
Negli ultimi vent'anni vi sono stati inoltre sviluppi interessanti riguardanti la costruzione di funzioni L p-adiche ovvero di funzioni analitiche p-adiche, non più complesse, con la proprietà di contenere informazioni aritmetiche interessanti riguardo gli oggetti da cui sono definite.
Nel nostro gruppo sono presenti tutte le competenze, presenti nel dipartimento, necessarie per affrontare da vari punti di vista lo studio delle funzioni L. Il dott. Molteni ne studia le proprietà analitiche. Il prof. Bertolini e i dottori Longo e Vigni studiano le funzioni L p-adiche associate a curve ellttiche e a forme modulari. Il prof. Andreatta si occupa di teoremi di confronto per coomologie p-adiche, usalmente la coomologia ètale e la coomologia di de Rham. Essi sono alla base di alcune costruzioni di funzioni L tramite le cosiddette leggi di reciprocità. Infine il prof. Barbieri-Viale è un esperto di motivi à la Voevodski e specialmente degli 1-motivi di Deligne.
Obiettivi specifici:
1) Studiare proprietà analitiche delle funzioni L di forme automorfe con particolare attenzione alle stime di sottoconvessità, alla teoria della trascendenza e delle somme esponenziali.
2) Investigare il legame fra valori speciali di funzioni L p-diche e cicli aritmetici per varietà di Shimura di dimensione superiore, anche allo scopo di introdurre nuove costruzioni di punti razionali su curve ellittiche.
3) Generalizzare le leggi di reciprocità in dimensione superiore.
4) Estendere i teoremi di confronto al caso di varietà singlari e/o non compatte con applicazioni, ad esempio, a varietà di Shimura.
5) Generalizzare la costruzione nonchè le congetture note sulle funzioni L al caso più generale di 1-motivi.
6) Studiare la categoria degli 1-motivi all’interno della categoria dei motivi di Voevodski.
7) Generalizzare la categoria degli 1-motivi e delle loro realizzazioni in modo da poter controllare situazioni geometriche e aritmetiche più complicate (ad esempio con singolarità non toroidali).