TOPICS IN ALGEBRAIC SUPERGEOMETRY OVER PROJECTIVE SPACES

In questa tesi vengono studiati alcuni argomenti in supergeometria algebrica, con particolare attenzione al caso in cui le varietà ridotte delle supervarietà in esame siano spazi proiettivi complessi $\mathbb{P}^n$. Dopo aver introdotto le definizioni di base e alcune nozioni generali della supergeometria, viene studiata in dettaglio la geometria dei superspazi proiettivi $\mathbb{P}^{n|m}$. In questo contesto, vengono dati risultati sulla struttura e la coomologia dei fasci invertibili, sugli automorfismi e le deformazioni infinitesime. Attenzione speciale è riservata al caso della supercurva di Calabi-Yau $\mathbb{P}^{1|2}$. In seguito, vengono studiate le varietà non-projected su $\mathbb{P}^n$ e se ne fornisce una classificazione nel caso la dimensione dispari sia $2$, mostrando che esistono supervarietà non-projected solamente sulla linea proiettiva $\mathbb{P}^1$ e sul piano proiettivo $\mathbb{P}^2$. In particolare, si dimostra che tutte le supervarietà non-projected su $\mathbb{P}^2$ sono Calabi-Yau, cioè hanno fascio Bereziniano banale, ed inoltre sono non proiettive: non possono cioè essere immerse in un superspazio proiettivo $\mathbb{P}^{n|m}$. Si dimostra, invece, che esse possono sempre essere immerse in super Grassmanniane. In questo contesto, alcune immersioni di supervarietà non-projected significative vengono realizzate esplicitamente. Infine, è data una nuova costruzione dei $\Pi$-spazi proiettivi come supervarietà non-projected connesse al fascio cotangente su $\mathbb{P}^n$.