GRUPPI: Sia G un gruppo finito. E` ben noto che l'insieme cd(G) dei gradi dei caratteri irriducibili di G riflette in modo molto significativo la struttura gruppale. E` nostra intenzione considerare particolari sottoinsiemi di cd(G) che derivano dal porre restrizioni sul campo in cui i caratteri irriducibili prendono valori. Piu` precisamente, fissato un sottocampo F di C contenente Q, si denota con cd_F(G) il sottoinsieme di cd(G) costituito dai gradi dei caratteri irriducibili di G i cui valori sono tutti in F. Particolarmente interessante risulta l'analisi degli insiemi cd_Q(G) e cd_R(G), che sembrano riflettere ancora profondamente la struttura gruppale di G. Infine, ci appare promettente lo studio di altri insiemi di interi positivi associati ad un gruppo finito, che nascono dai "vanishing elements" (zeri dei caratteri irriducibili). Desideriamo rivolgere attenzione all'insieme degli ordini dei vanishing elements ed all'insieme delle lunghezze delle classi di coniugio di tali elementi.
Il legame tra ciascuno degli insiemi di interi positivi sopra descritti e la struttura gruppale di G puo` essere evidenziato in modo efficace anche tramite strumenti di teoria dei grafi, ad esempio considerando il "prime graph" associato a tali insiemi. E` nostra intenzione esaminare sotto vari aspetti (ad esempio numero delle componenti connesse, diametro, cardinalita` di "independent sets") la struttura di tale grafo.
CATEGORIE: intendiamo svolgere ricerche sui seguenti temi.
1) Relazione tra accessibilita` per azioni ed esistenza del centralizzante in categorie omologiche e semiabeliane, in particolare in varieta` di gruppi con operazioni, come anelli, algebre di Lie, di Leibniz.
2) Studio delle estensioni centrali e delle estensioni con nucleo abeliano, e delle proprieta` del commutatore di Huq in categorie semiabeliane accessibili per azioni.
3) Studio comparato delle nozioni di commutatori di sottoggetti di Higgins, Huq, Gumm-Ursini, Smith in categorie "ideal determined", in particolare nel caso omologico e semiabeliano.
4) Relazione tra categorie sottrattive e categorie ideal determined, partendo dal fatto che nel caso varietale ogni varieta` ideal determined e` sottrattiva.
5) Trovare condizioni su una categoria semiabeliana affinche' si possano classificare le estensioni spezzanti dei suoi gruppoidi interni (o equivalentemente di moduli incrociati interni), analogamente a quanto capita per i moduli incrociati nei gruppi e nelle algebre di Lie, le cui estensioni spezzanti sono classificate.
6) Sequenze esatte di n-gruppoidi: si intende studiare le proprieta` di esattezza della sesqui categoria degli n-gruppoidi.
7) Inversi deboli per n-categorie strette.
8) Categorie e informatica teorica. Categorie e basi di dati.
MODULI: classi ortogonali rispetto a moduli e/o complessi parzialmente tilting.