Equazioni differenziali non lineari sono di grande importanza per lo studio di fenomeni non lineari, sia nelle scienze naturali sia nelle applicazioni tecnologiche. Negli anni recenti la ricerca ha fatto progressi enormi nello sviluppo di nuove teorie e tecniche per il trattamento di tali equazioni. Si e` costituito un gruppo di ricerca con l'intenzione di fare attivita` di ricerca in questo campo, ed in particolare introdurre giovani ricercatori allo studio di queste teorie affascinanti. Per svolgere ricerche su un alto livello, si cerca il contatto con studiosi nazionali ed internazionali, invitando ospiti per ricerche congiunte e visitando convegni ed altre Unversita`; tali contatti son di vitale interesse, in particolare per i giovani studiosi.
Temi delle ricerche:
a) Soluzioni concentranti per equazioni ellittiche in dimensione due, con crescita critica nel senso di Trudinger-Moser (ricerca di B. Ruf, in collaborazione con M. del Pino e M. Musso (Universita` del Chile, Santiago)
b) Disuguaglianze ottimali per il Laplaciano nello spazio L^1, ricerca di B. Ruf, C. Tarsi e D. Cassani.
c) Studio della costruzione nel piano odografo per flussi transonici, cercando di ottenere risultati nel contesto di domini illimitati. Inoltre, si propone di continuare lo studio dei principi di massimo e teoria spettrale per operatori ellittici degeneri, cercando di mostrare un teorema di immersione con compatezza, un principio di massimo forte e/o disuguaglianza di Harnack (gia¿ noti per casi particolari); ricerca di K. Payne e D. Monticelli
d) Teoremi di immersione per spazi tipo Sobolev in spazi di Orlicz.
Disuguaglianze di tipo Trudinger Moser in spazi di Lorentz su domini illimitati: ricerca di funzioni estremali e analisi del primo livello di non compattezza del funzionale associato. Applicazioni. (ricerca di C. Tarsi)
e) Studio di problemi di esistenza, non esistenza, molteplicità e proprietà qualitative (esempio simmetria) di soluzioni per alcuni sistemi ellittici con peso radiale del tipo Hardy-Hénon; ricerca di M. Calanchi e E. Terraneo.
f) Sviluppo del programma KEPLER in MATLAB con applicationi allo studio del problema Zeeman-Stark, satellite artificiale intorno ad un primario non sferico, problema della Luna e dei 3 corpi circolare ristretto 3D (ricerca di B. Cordani)
g) Studio di casi limite di disuguaglianze d'immersione motivate da equazioni ellittiche con dato non regolare ($L^1$). Si studiano altre"Studiamo casi limite di disuguaglianze d'immersione motivate da equazioni ellittiche con dato non regolare ($L^1$). Inoltre, motivati dallo studio di modelli MEMS, studio di problemi agli autovalori nonlineari, anche non locali, per l'operatore biarmonico in presenza di nonlinearità singolari; ricerca di D. Cassani.
h) Studio di equazioni quasilineari del tipo p-Laplaciano: molteplicita` di soluzioni; ricerca di F. Torre.