Inferenza per processi del telegrafo osservati in tempo discreto e applicazioni alla finanza

Presupposti: Il processo del telegrafo, introdotto da Goldstein nel 1951 come alternativa al moto Browniano, e' un processo non markoviano la cui densita' di transizione e' guidata dalla cosiddetta equazione del telegrafo. Il processo si pone come alternativa al moto Browniano poiche' possiede anch'esso traiettorie continue ma, contrariamente al moto Browniano, si muove a velocita' finita. Di recente (Iacus, 2001) si e' tentato di applicare procedure di inferenza statistica a questo processo partendo da osservazioni in tempo continuo. Descrizione e obiettivi: Pensando invece ad applicazioni in campo finanziario, e' necessario immaginare di poter osservare il processo solo in tempo discreto. In tal caso, poiche' tale processo non e' markoviano, ne stazionario, non e' possibile applicare le tecniche di statistica sinora sviluppate per processi come le diffusioni, i processi ergodici (secondo qualche condizione di mixing) ecc ( si veda Iacus, 2006) La presente ricerca si propone di sviluppare tecniche ad hoc per lo studio di tali processi dal punto di vista della statistica matematica. In particolare si propone di studiare le proprieta' dello stimatore costruito sulla verosimiglianza approssimata del processo, di stabilire le proprieta' di LAN (Local Asymptotic Normality) per la famiglia paramterica associata alle leggi del processo e di applicare questi risultati all'identificazione di serie storiche finanziarie sostituendo il processo del telegrafo al moto Browniano nella definizione del moto Browniano geometrico. L'argomento ha suscitato di recente molto interesse in ambito finanziario dal punto di vista modellistico (si veda e.g. Di Crescenzo, Pellerey, 2002) ma nulla e' ancora disponbile dal punto di vista statistico. Inoltre si tentera' anche di applicare le tecniche di approssimazione basate sui sistemi IFS (sistemi di funzioni iterate) sviluppate di recente da Iacus e La Torre.