SURFACE THEORY IN THE 18TH AND 19TH CENTURIES: THE SECOND PROBLEM OF APPLICABILITY
Tesi di Dottorato
Data di Pubblicazione:
2023
Citazione:
SURFACE THEORY IN THE 18TH AND 19TH CENTURIES: THE SECOND PROBLEM OF APPLICABILITY / R. Rivis ; tutor: M. Rigoli ; co-tutor: A. Cogliati ; coordinatore: D. Bambusi. Università degli Studi di Milano, 2023 Jun 21. 35. ciclo, Anno Accademico 2022.
Abstract:
Lo scopo di questa tesi è di indagare alcuni momenti salienti dello sviluppo della teoria classica delle superfici nel XVIII e XIX secolo legati al secondo problema dell'applicabilità.
Due superfici sono applicabili l'una all'altra se esiste una deformazione continua che mappa l'una sull'altra. Fino alla fine dell’Ottocento, si credeva che questo fosse equivalente a richiedere che le due superfici fossero localmente isometriche e il secondo problema di applicabilità, in particolare, consisteva nel trovare tutte le superfici localmente isometriche ad una assegnata.
Il tema dell'applicabilità divenne centrale nello studio delle superfici quando Gauss pubblicò le Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828). Qui, egli affermò che due superfici possono essere considerate equivalenti quando sono applicabili l’una sull’altra e mise in evidenza quelle proprietà, come la curvatura gaussiana, che non variano all'interno di una classe di applicabilità (proprietà intrinseche).
Prima di allora, il problema era già stato completamente risolto da Eulero (1772) e da Monge (1780, 1785) solo nel caso delle superfici applicabili al piano. Una lettura accurata dei loro lavori ha permesso di approfondire le origini del problema dell’applicabilità e le diverse motivazioni che hanno spinto i due verso tali indagini.
Dopo i primi tentativi di Minding (1837-1840), il secondo problema dell’applicabilità fu ripreso nel 1860 quando l’Accademia delle Scienze di Parigi lo scelse come tema per un Grand Prix des Mathématiques. L’analisi dei tre lavori presentati da Bour, Bonnet e Codazzi in questa occasione ha fornito una nuova visione del processo storico che ha portato al riconoscimento della rilevanza delle equazioni di Mainardi-Codazzi e del Teorema fondamentale della teoria delle superfici e ha contribuito a spiegare perché i risultati ottenuti precedentemente da Peterson (1853) e Mainardi (1856) sull'argomento siano passati inosservati per anni.
I lavori di Bour, Bonnet e Codazzi stimolarono nuove ricerche e il vivo interesse per il secondo problema dell’applicabilità spinse l’Accademia delle Scienze a bandire un secondo Grand Prix su questo tema per il 1894. A vincere fu Julius Weingarten che propose un nuovo metodo basato su un’equazione alle derivate parziali del secondo ordine del tipo di Monge-Ampère che, a differenza di un’equazione simile presentata da Bour al Premio del 1860, risultava integrabile con metodi noti in tutti e soli i casi in cui classi complete di superfici applicabili erano già state determinate per via geometrica. Oltre a tracciare un profilo scientifico più accurato di Weingarten, lo studio di alcune sue lettere indirizzate a Bianchi, unitamente all’analisi di diverse sue pubblicazioni sull’applicabilità, ha permesso di ricostruire il processo che lo ha portato tra il 1884 e il 1894 a formulare il suo nuovo metodo.
Infine, lo studio di alcune applicazioni del metodo di Weingarten proposte da Bianchi (1896-1899) e da Ricci Curbastro (1897) ha fornito un ulteriore spunto per interpretare la delicata questione dell'iniziale diffidenza in Italia tra la fine dell’Ottocento e l’inizio del Novecento verso il calcolo differenziale assoluto di Ricci. Infatti, il confronto dei risultati dei due su uno stesso argomento ha messo in luce alcuni aspetti peculiari delle rispettive ricerche, mostrando concretamente la differenza di vedute tra i due.
Tipologia IRIS:
Tesi di dottorato
Keywords:
history of surface theory; problem of applicability; developable surfaces; Mainardi-Codazzi equations; fundamental theorem of surface theory; Julius Weingarten; Weingarten's method for applicability; Luigi Bianchi; Ricci Curbastro
Elenco autori:
R. Rivis
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