Data di Pubblicazione:
2018
Citazione:
NON-SYMPLECTIC AUTOMORPHISMS OF IRREDUCIBLE HOLOMORPHIC SYMPLECTIC MANIFOLDS / A. Cattaneo ; tutors: L. van Geemen, A. Sarti ; coordinator: V. Mastropietro. DIPARTIMENTO DI MATEMATICA "FEDERIGO ENRIQUES", 2018 Dec 18. 31. ciclo, Anno Accademico 2018. [10.13130/cattaneo-alberto_phd2018-12-18].
Abstract:
La tesi si concentra sullo studio degli automorfismi di varietà olomorfe simplettiche irriducibili di tipo K3^[n], ovvero varietà equivalenti per deformazione allo schema di Hilbert di n punti su una superficie K3, per n > 1. Negli ultimi anni, molti teoremi classici riguardanti la classificazione degli automorfismi non-simplettici di superfici K3 sono stati estesi alle varietà di tipo K3^[2]. Siamo quindi interessati a comprendere se tali risultati possono essere ulteriormente generalizzati anche al caso di varietà di tipo K3^[n], per n > 2.
Nella prima parte della tesi descriviamo il gruppo degli automorfismi dello schema di Hilbert di n punti su una superficie K3 proiettiva generica, il cui reticolo di Picard è generato da un singolo fibrato ampio. Mostriamo che, se il gruppo non è triviale, esso è generato da una involuzione non-simplettica, la cui esistenza è determinata da condizioni aritmetiche che coinvolgono il numero n di punti e la polarizzazione della superficie. In aggiunta a tale caratterizzazione numerica, individuiamo anche delle condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza dell'involuzione riguardanti la struttura del reticolo di Picard dello schema di Hilbert.
La seconda parte della tesi è dedicata allo studio degli automorfismi non-simplettici di ordine primo su varietà di tipo K3^[n]. Dopo aver investigato le proprietà del reticolo invariante dell'automorfismo e del suo complemento ortogonale all'interno del secondo reticolo di coomologia della varietà, forniamo una classificazione per le loro classi di isometria. Affrontiamo quindi il problema di individuare varietà di tipo K3^[n] dotate di automorfismi non-simplettici che inducano ognuna delle possibili azioni in coomologia presenti nella nostra classificazione. Nel caso delle involuzioni, e degli automorfismi di ordine primo dispari per n=3, 4, siamo in grado di realizzare tutti i casi ammissibili, presentando una costruzione esplicita della varietà o almeno dimostrandone l'esistenza. Tra i numerosi esempi esibiti, è di particolare rilievo un nuovo automorfismo di ordine tre su una famiglia di dimensione dieci di varietà di Lehn-Lehn-Sorger-van Straten di tipo K3^[4]. Infine, per n < 6 descriviamo le famiglie di deformazione massimali di varietà di tipo K3^[n] dotate di una involuzione non-simplettica.
Tipologia IRIS:
Tesi di dottorato
Keywords:
complex algebraic geometry; lattice theory; holomorphic symplectic manifold; Hilbert schemes of points on K3 surfaces; automorphisms; Torelli theorem; moduli spaces
Elenco autori:
A. Cattaneo
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